Soma de Séries Infinitas

Conceito de Série

Na seção anterior vimos que podemos definir um tipo de função a qual chamamos de sequência, em que associamos a cada número inteiro um número real. Que acontece se somamos os termos dessa sequência?, Observe que nos tratamos com sequência infinitas na seção anterior, será que essa soma infinita da um número finito?

Definição de série

À expressão onde são somados os infinitos termos de uma sequência $\{a_n\}$ chamamos de série, e representamos por \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + a3 + \ldots + a_n + \ldots \nonumber \] e os números $a_1,\,a_2,\,a_3,\ldots$ chamamos de termos da série.

Nota: Na definição que acabamos de presentar sobre séries infinitas observamos que o índice do somatório inicia em um. Isso não é um padrão, de fato, você pode relaxar a definição e inciar com um outro índice, tipo $a_0$ ou $a_5$, vai depender da sua conveniência.

Nesta seção trataremos de responder à pergunta que formulamos anteriormente, será que a soma da série resulta em um número real?, tecnicamente podemos dividir essa pergunta em duas:

1. Será que a serie converge?
2. se a série converge, a que número ela converge?

Parece estranho que tenhamos divido nossa pergunta fundamental em duas partes mas na realidade existem inúmeras situações onde basta saber que a soma da serie resulta num número real. Também é claro que existem situações onde queremos saber o resultado da soma, isso parece desconcertante, é possível que uma soma infinita de um resultado finito, a resposta é sim, e para mostrar isso vejamos o seguinte exemplo,

Exemplo 01

Vamos descompor a fração como sendo a soma de muitos termos, \[ \begin{align*} \dfrac{1}{3} =& 0,3+0,03+0,003+0,0003+\ldots\\ =&\dfrac {3} {10}+\dfrac {3} {100}+\dfrac {3} {1000}+\dfrac {3} {10000}+\ldots \end{align*} \] nota que qualquer somando pode ser expressado pelo obtido através do termo geral \[ a_n = 3\left( \dfrac {1} {10}\right) ^{n} \nonumber \] de forma que a soma pode ser expressada como \[ \dfrac{1}{3}=\sum_{n=1}^{\infty}3\left( \dfrac {1} {10}\right) ^{n} \nonumber \] Dessa vimos que um número finito foi expressado como uma soma de infinitos termos.

O método que utilizamos no exemplo anterior pode ser aperfeiçoado de forma a nos permitir calcular a soma de outras série, mas antes devemos dar uma definição

Somas Parciais

Chamamos de somas parciais à sequência criada a partir dos termos da série, o índice da sequência nos indicará quantos termos da série deveram ser somados, assim \[ \begin{array}{ccl} S_1 &=& a_1\\ S_2 &=& a_1 + a_2\\ S_3 &=& a_1 + a_2 + a_2 \\ \vdots& & \vdots\\ S_n &=& a_1 + a_2 + a_2 + \ldots + a_n \end{array} \nonumber \] Para o caso do nosso exemplo inicial a sequência das somas parciais será \[ \begin{array}{clll} S_1 &= a_1 &=\dfrac{3}{10} &=0.3\\ S_2 &= a_1 + a_2 &=\dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{100}&=0.33\\ S_3 &= a_1 + a_2 + a_2 &=\dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{100} + \dfrac{3}{1000}&=0.333\\ \vdots& \vdots& \vdots &\vdots \end{array} \nonumber \] Como sabemos que esta serie converge, então podemos dizer que a o $n$-ésimo termos da sequência converge, de fato

Definição de series convergente e divergente

Para uma série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$, a $n-$essima soma parcial está dada por \[ S_n = a_1 + a_2 + a_2 + \ldots + a_n \nonumber \] Se a sequência de somas parciais $\{S_n\}$ converge, então a série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge. Ao limite $S$ chamamos de soma da série: \[ \begin{align*} S =& \sum_{n=1}^{\infty} a_n\\ S =& a_1 + a_2 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots \end{align*} \] Se $\{S_n\}$ diverge, então a série diverge. Uma série divergente não tem uma soma finita.

Séries Conhecidas

Construir a sequência de somas parciais nos permitira calcular a soma de algumas séries que podemos considerar como sendo às séries conhecidas básicas.

Série Geométrica

Uma série geométrica aquelas séries nas quais cada termo é um múltiplo constante do termo anterior. A série geométrica finita tem a forma \[ a+ax+ax^{2}+\ldots +ax^{n-2}+ax^{n-1} \nonumber \] enquanto que uma série geométrica infinita tem a forma \[ a+ax+ax^{2}+\ldots +ax^{n-2}+ax^{n-1}+ax^{n}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }ax^{n-1} \nonumber \] Para saber a soma de uma série finita, somamos todos os termos da seguinte forma \[ S_n = a+ax+ax^{2}+\ldots +ax^{n-2}+ax^{n-1} \nonumber \] e definimos o produto de $x$ por $S_n$ \[ xS_n = ax+ax^2+ax^{3}+\ldots +ax^{n-1}+ax^{n} \nonumber \] finalmente, subtraindo um do outro \[ \begin{array}{rcl} S_n - xS_n &=& a - ax^{n}\\ (1-x)S_n &=& a\left(1-x^{n}\right)\\ S_n &= & \dfrac{a\left(1-x^{n}\right)}{1-x}\;\;\;\;x\neq 1 \end{array} \nonumber \] Quando temos uma série infinita, a equação \[ S_n = a+ax+ax^{2}+\ldots +ax^{n-2}+ax^{n-1} \nonumber \] define o termo de uma sequência de soma parciais. Note que se $|x| < 1$: \[ \begin{align*} \lim_{n\to \infty} S_n =& \lim_{n\to \infty}\dfrac{a\left(1-x^{n}\right)}{1-x}\\ =&\dfrac{a}{1-x}, \end{align*} \] por outro lado, se $|x| > 1$ \[ \begin{align*} \lim_{n\to \infty} S_n =& \lim_{n\to \infty}\dfrac{a\left(1-x^{n}\right)}{1-x}\\ =& \infty, \end{align*} \] de forma que podemos resumir esse resultado em

Soma de séries geométricas

A série geométrica \[ \sum _{n=1}^{\infty }ax^{n-1} = a\,+\,ax\,+\,ax^{2}\,+\,\ldots \nonumber \] é convergente se $|x| < 1$ e sua soma é \[ \sum _{n=1}^{\infty }ax^{n-1} = \dfrac{a}{1-x}, \;\;\;\;\;|x| < 1 \nonumber \] Se $|x| \geq 1$, a série é divergente.

Exemplo 02

Para cada uma das seguintes séries geométricas infintas, determine a soma (se existir).

1. $\displaystyle 1 +\dfrac {1} {2}+\dfrac {1} {4}+\dfrac {1} {8}+\ldots$
2. $\displaystyle 1+2+4+8+\ldots$
3. $\displaystyle 6-2+\dfrac {2} {3}-\dfrac {2}{9}+\dfrac {2} {27}-\ldots$
4. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^{2n}3^{1-n}$
5. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac {1} {9}\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{n-1}$
6. $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty x^n$
7. Tu deixas cair uma bola desde uma altura de $a$ metros sobre uma superfície plana. Cada vez que a bola bate na superfície depois de ter caído uma distância $h$, ela rebota e sobe uma distância $rh$, onde $r$ é um número positivo menor do que $1$. Calcule a distância total que a bola viaja subindo e descendo.
8. Expresse a dizima periódica $5.23232323\ldots$ como a razão de dois números inteiros.
9. Devido a uma infeção de ouvido, uma pessoa toma uma capsula com $250\,mg$ de ampicilina a cada 6 horas. Se depois de 6 horas, só $4\%$ da ampicilina se mantêm no corpo, que quantidade do remédio estará no corpo após ter tomado 10 capsulas?
11. Pessoas que poupam dinheiro frequentemente o fazem separando uma quantidade fixa de dinheiro regularmente. Para ser específico, uma que uma quantia de $R\$\,1000$ seja depositada anualmente em uma caderneta de poupança que rende $5\%$ ao ano (rendimento composto). Qual será o saldo, $S_n$ em reais, na caderneta de poupança imediatamente após o $n-$ésimo deposito?

Série Telescópica

Chamamos de séries telescópicas a um grupo de séries que, uma vez ordenadas, todos os termos internos se cancelam restando somente o primeiro e o último termo da série.

Definição de série Telescópica

A série $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ é dita telescópicas se todos os $a_n$ é tal que pode ser expressado como diferença da forma \[ a_n = b_n - b_{n+1} \nonumber \] Este tipo de série converge a $b_1-L$, \[ \sum_{k=1}^\infty a_n = b_1 - L \nonumber \] se a sequência dos $(b_n)$ converge já que \[ L = \lim_{n\to \infty} b_n \nonumber \]

O nome deste tipo de série se deve ao fato de que os termos da serie podem ser agrupados em parenteses de 2 termos de forma a que cada um deles cancela um dos termos do grupo ao seu lado

Vejamos o seguinte exemplo: considere a seguinte soma da série \[ S = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n\left( n+1 \right) } = \dfrac{1}{1\left( 2 \right)} + \dfrac{1}{2\left( 3 \right)} + \dfrac{1}{3\left( 4 \right)} + \dfrac{1}{4\left( 5 \right)} + \ldots \nonumber \] Observe que podemos expressar o termo geral da seguinte forma \[ \begin{align*} \dfrac{1}{n\left( n+1 \right)} =& \dfrac{A}{n} + \dfrac{B}{n+1} \\ \dfrac{1}{n\left( n+1 \right)} =& \dfrac{An+A+Bn}{n\left( n+1 \right)}\\ A =& 1\\ A + B =& 0\\ B =& -A\\ B =& -1\\ \end{align*} \] por tanto, temos a seguinte identidade \[ \dfrac{1}{n\left( n+1 \right)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \nonumber \] Agora vamos construir a sequência de somas parciais utilizando a identidade anterior \[ \begin{align*} S_1 =& \dfrac{1}{1\left( 2 \right)}\\ =& \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\\ S_2 =& \dfrac{1}{1\left( 2 \right)}\dfrac{1}{2\left( 3 \right)}\\ =& \left( \dfrac{1}{1} - \bcancel{\dfrac{1}{2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{2}} - \dfrac{1}{3} \right)\\ =& 1 - \dfrac{1}{3}\\ S_3 =& \dfrac{1}{1\left( 2 \right)} + \dfrac{1}{2\left( 3 \right)} + \dfrac{1}{3\left( 4 \right)}\\ =& \left( \dfrac{1}{1} - \bcancel{\dfrac{1}{2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{2}} - \bcancel{\dfrac{1}{3}} \right) + \left(\bcancel{\dfrac{1}{3}} - \dfrac{1}{4} \right)\\ =& 1 - \dfrac{1}{4} \end{align*} \] em geral \[ \begin{align*} S_N =& \left( \dfrac{1}{1} - \bcancel{\dfrac{1}{2}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{2}} - \bcancel{\dfrac{1}{3}} \right) + \ldots + \left( \bcancel{\dfrac{1}{N-1}} - \bcancel{\dfrac{1}{N}} \right) + \left( \bcancel{\dfrac{1}{N}} - \dfrac{1}{N+1} \right)\\ =& 1 - \dfrac{1}{N+1} \end{align*} \] de onde, a soma é o limite das somas parciais, isto é \[ \begin{align*} S =& \lim_{N\to \infty} S_N\\ =& \lim_{N\to \infty} \left( 1 - \dfrac{1}{N+1} \right)\\ =& 1 \end{align*} \] Este exemplo também serve para ilustrar a diferença entre uma sequência, $\displaystyle \{a_n\}$, e uma série, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$, observe que o termo geral da sequência \[ a_n = \dfrac{1}{n\left( n+1 \right)} \nonumber \] converge a zero \[ \lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)} = 0 \nonumber \] no entanto para a série \[ \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n\left( n+1 \right)} \nonumber \] acabamos de mostrar que tem a soma igual a $1$

Exemplo 03

1. $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \dfrac{1}{\left(i+2\right)\left(i+3\right)}$
2. $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \dfrac{2}{4n^2-1}$

Série harmônica

\[ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k} \nonumber \] Está serie é a série mais simples das chamada p-series. Nicole d'Oresme (1323-1382) mostrou que esta série não converge, mesmo que a sequência associada é convergente. Um fato interessante desta série é que sua irmã, \[ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^2} \nonumber \] sim converge, como mostrado por Euler a $\displaystyle \dfrac{\pi ^2}{6}$. Esta última série é uma série famosa a pois no intento de demostrar sua convergência matemáticos do gabarito de Leibniz e os irmãos Bernoulli falharam, esse problema ficou conhecido como problema da Basileia (pois os Bernoulli e Euler são de Basel - Basileia em Português - Suíça).

Propriedades algébricas das séries infinitas

Antes de finalizar vamos apresentar um teorema onde são resumida as propriedades algébricas das séries infinitas convergentes.

Teorema: Propriedades das séries infinitas

Seja $\displaystyle \sum a_n$ e $\displaystyle \sum b_n$ series convergentes, e seja $A$, $B$ e $c$ números reais. Se $\displaystyle A = \sum a_n$ e $\displaystyle B = \sum b_n$, então as seguintes séries convergem à somas indicadas $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ca_n = cA$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \pm b_n\right) = A\pm B$ A convergência ou divergência de uma série não se vê afetada se removemos um número finito de termos da série, isto é, se $N$ é um número positivo, então \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n=a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \nonumber \] \[ \sum_{n=N}^{\infty} a_n=a_N + a_{N+1} + a_{N+2} + \ldots \nonumber \] ambas séries convergem ou divergem.

Exemplo 04

Calcule a soma das seguintes séries

1. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{3}{4^n} - \dfrac{2}{5^{n-1}} \right)$
2. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1+2^{n+1}}{3^n} $
3. $\displaystyle \sum_{n=10}^{\infty} \dfrac{1}{n}$

Reindexação

É possível reindexar a série sem afetar sua convergência desde que seja preservada a ordem dos termos:

1. Para aumentar o valor do índice em $h$ unidades, substitua o $n$ na formula de $a_n$ por $n-h$ \[ \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_n = \displaystyle \sum _{n=1+h}^{\infty } a_{n-h} \nonumber \]
2. Para diminuir o valor inicial em $h$ unidades, substitua o $n$ na formula de $a_n$ por $n+h$ \[ \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_n = \displaystyle \sum _{n=1-h}^{\infty } a_{n+h} \nonumber \]

Exemplo 05

Utilizando uma mudança de variáveis reescreva a seguintes séries na forma $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

1. $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( 2n+1 \right)$
2. $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac {1} {\ln n}$
3. $\displaystyle \sum_{n=4}^{\infty} \dfrac {n+3} {\left( n-3\right) \left( n-2\right) } $